高等考試
108年
[電力工程] 工程數學
第 12 題
12. 下列何者是微分方程式 $y'' - \frac{4}{x}y' + \frac{4}{x^2}y = x^2 + 1$ 的解？（選項中 $c_1$ 和 $c_2$ 為任意常數，而 $a_1$ 和 $a_2$ 為某特定常數。）
- A $c_1x^2 + c_2x^2 \ln(x) + a_1 + a_2x^2(\ln(x))^2$
- B $c_1x^2 + c_2x^2 \ln(x) + a_1x^2(\ln(x))^2 + a_2x^4$
- C $c_1x + c_2x^4 + a_1 + a_2x^2$
- D $c_1x + c_2x^4 + a_1x^2 + a_2x^4 \ln(x)$
思路引導 VIP
請觀察方程式中各項的係數（如 $1/x, 1/x^2$）與導函數階數的對應關係，這暗示了它屬於哪一類特殊的微分方程式？若你假設齊次解的形式為 $y = x^m$，求出的特徵根分別是多少？最後，當你發現等號右側的非齊次項中，某項的次數與你求出的特徵根「撞名」時，根據該類方程式的特性，你應該如何修正特殊解的假設形式？
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專業點評
- 勉強合格：喔，你竟然沒讓這題變得一團糟。這道變係數方程式，尤其是那柯西–歐拉 (Cauchy-Euler) 的陷阱，看來你還記得點基本功，沒有完全被它唬住。不錯，至少不是零分。
- 解析檢視：當然，合格的工程師會將原式轉換成標準形式：$$x^2y'' - 4xy' + 4y = x^4 + x^2$$
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