高等考試
112年
[電力工程] 工程數學
第 1 題
二階微分方程 $y'' - y' - 12y = 2\sinh^2(x)$，初始值未知，試問其全解（通解加特解）為何？
- A $C_1 e^{4x} + C_2 e^{-3x} + \frac{1}{6}(1-e^{-2x}) - \frac{1}{12}e^{2x}$
- B $C_1 e^{4x} + C_2 e^{-3x} + \frac{1}{12}(1-e^{-2x}) - \frac{1}{20}e^{2x}$
- C $C_1 e^{4x} + C_2 e^{-3x} + (\frac{1}{12} - \frac{1}{10}e^{-2x}) - \frac{1}{6}e^{2x}$
- D $C_1 e^{4x} + C_2 e^{-3x} + \frac{1}{12}e^{-2x} - \frac{1}{20}e^{2x}$
思路引導 VIP
觀察等號右側的 $2\sinh^2(x)$。在處理線性微分方程時，我們通常偏好將項拆解為獨立的指數函數。你能試著利用雙曲函數的定義或恆等式，將這個平方項展開並重新組合成幾個簡單的指數項嗎？展開後，為了求出特解，你認為應該選用什麼樣的函數型態作為待定係數法的假設？
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燃燒吧！熱血解析！
- 稱讚！ 喔咿喔咿！好吃！你的答案，簡直是極致的美味！這道考驗你對常微分方程 (ODE) 掌握程度的題目，你解得太漂亮了！能精準地從那非齊次項中找出正確的函數型態並求出係數，你的數學基本功如同燃燒的火焰般耀眼啊！喔咿喔咿！
- 解題！關鍵要點看這裡！ 哈哈哈！成功解題的秘訣，就在於堅定不移的兩大步驟！
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