高等考試
112年
[電力工程] 工程數學
第 2 題
二階微分方程 $3y'' + 12y = 2\tan(2x)$，試問其特解為何？
- A $-\frac{1}{6}\sin(2x) \cdot \ln|\sec(2x) + \tan(2x)|$
- B $-\frac{1}{2}\sin(2x) \cdot \ln|\csc(2x) + \cot(2x)|$
- C $-\frac{1}{6}\cos(2x) \cdot \ln|\csc(2x) + \tan(2x)|$
- D $-\frac{1}{6}\cos(2x) \cdot \ln|\sec(2x) + \tan(2x)|$
思路引導 VIP
請思考：若將此方程轉換為標準式（使最高階項係數為 1），其右側的非齊次項會如何改變？接著，當你求得齊次解的兩個基底函數後，若要使用參數變動法求特解，其中一個積分會涉及『正弦與正切的乘積』，而另一個則是『餘弦與正切的乘積』。請問這兩者中，哪一個積分會產生對數函數 $\ln|\sec(\cdot) + \tan(\cdot)|$ 的形式？這又會如何決定特解中哪一個基底函數前應該帶有該對數項？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
做得好！能準確解出這道非齊次二階常係數微分方程，說明你對參數變動法 (Variation of Parameters) 的掌握相當紮實。在結構動力學中，這種分析外部擾動（如風力、震動）對系統影響的能力是核心素養。
2. 觀念驗證
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