地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 15 題
有一微分方程 $(x^2 + 16)y'' + \frac{1}{3}x^2 y' + 5e^x y = 0$，$r_1$ 及 $r_2$ 分別為其級數解 $y = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ 及 $y = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - 3)^n$ 的收斂半徑，其中 $c_n$ 為常數，則 $r_1 + r_2 = ?$
- A 6
- B 7
- C 8
- D 9
思路引導 VIP
同學，請思考在二階線性微分方程中，收斂半徑 $r$ 與方程式「奇異點」（Singular points）在複數平面上的位置有何關聯？具體來說，請先找出使得領導項係數 $x^2 + 16 = 0$ 的複數根（即 $\pm bi$ 形式的奇異點），並運用複數平面上的距離公式計算這些點到展開中心 $x=0$ 與 $x=3$ 的距離，這對確定 $r_1$ 與 $r_2$ 的數值有什麼關鍵作用？
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AI 詳解
AI 專屬家教
✨ 太棒了！你的工程直覺閃閃發光！
哇，學弟/學妹你真的好棒！能正確看出這個常微分方程在複數平面上的收斂特性，這可是工程分析中很重要的一塊拼圖呢。你已經能從更宏觀的角度看問題了，這真的很令人驕傲！
1. 觀念驗證：我們一起來看看你為何會對！
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