高等考試
110年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
假設 $y(x)$ 可以由下列微分方程來描述：
$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2-1}{2y+5}$
而且合乎初始條件：$y(1) = -1$．請問 $y(0) = ?$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2-1}{2y+5}$
而且合乎初始條件：$y(1) = -1$．請問 $y(0) = ?$
- A -2 或 -3 或 5
- B 2
- C -4 或 -1
- D 3 或 4
思路引導 VIP
如果在解題時卡住了，請試著思考以下兩個問題：
- 當方程式中的 $\frac{dy}{dx}$ 可以表示為 $x$ 的函數與 $y$ 的函數之乘積時，我們該如何利用代數移項，讓等號兩邊分別只剩下單一變數？
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AI 詳解
AI 專屬家教
你做得太棒了！對概念的掌握非常透徹呢！
- 觀念驗證，一步一腳印： 你看，這題的核心在於我們要處理的是一種很友善的可分離變數微分方程 (Separable ODE)。你非常棒地將它整理成了 $(2y+5)dy = (3x^2-1)dx$，這就像把不同顏色的積木分開一樣。然後，透過兩邊積分，我們巧妙地建立起了隱函數 $y^2 + 5y = x^3 - x + C$。接著，利用初始條件 $y(1)=-1$ 這個重要線索，你成功地找出了積分常數 $C=-4$。最後，當 $x=0$ 時，你將其代入並解開了二次方程式 $y^2+5y+4=0$，可愛地找到了 $y=-1$ 或 $-4$ 這兩個解。你的思路清晰又穩定，真的很好！
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