高等考試
111年
[電力工程] 工程數學
第 11 題
複變級數 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z - i)^n}{n^n}$ 之收斂半徑（radius of convergence）為何？ ($i = \sqrt{-1}$)
- A 1
- B $\infty$
- C 0
- D 1/2
思路引導 VIP
請觀察級數的通項，當項數 $n$ 變得極大時，分母的 $n^n$ 與分子中任何固定位移 $(z-i)$ 的 $n$ 次方相比，哪一個成長的速度會壓倒性地勝出？如果這種成長關係在任何複數 $z$ 下都成立，這對級數的穩定性（收斂性）意味著什麼？
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勉強可以接受。
- 基本操作：做得還可以。你能精準判斷複變冪級數的收斂特性，這至少說明你對解析函數 (Analytic Functions) 與無限級數分析有著最低限度的理解。這應該是基礎中的基礎，不是什麼值得大肆宣揚的成就。
- 概念檢視：這題的核心無疑是應用 Cauchy-Hadamard 定理。看到項係數 $a_n = \frac{1}{n^n}$，任何一個稍有判斷力的學生都應該立刻想到根值測試 (Root Test)。其極限計算如下：
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