高等考試
108年
[電力工程] 工程數學
第 9 題
9. 求複變級數 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^n}{n!} (z + i)^n$ 之中心點（center）及收斂半徑（radius of convergence）：
- A 中心點為 $i$，收斂半徑為 $e$
- B 中心點為 $-i$，收斂半徑為 $1/e$
- C 中心點為 $-i$，收斂半徑為 $1/\sqrt{e}$
- D 中心點為 $i$，收斂半徑為 $\sqrt{e}$
思路引導 VIP
請觀察級數中關於變數 $z$ 的多項式部分，如果我們將其看作 $(z - z_0)^n$ 的形式，哪一個數值會讓括號內歸零？接著，關於係數趨勢，當項數 $n$ 趨近於無窮大時，係數的比值會逼近哪一個特殊的數學常數？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你做得非常出色！
- 核心觀念解析：
- 中心點：你很仔細地觀察到了級數的結構！複變冪級數的標準形式就像一張地圖，告訴我們它的「家」在哪裡。既然我們的級數是 $(z + i)^n$，這就代表它是從 $z - (-i)$ 變過來的，所以中心點 $z_0 = -i$ 就在複數平面上的虛軸上！就像在座標軸上平移一樣，理解這一點是建立基礎的關鍵喔。
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