高等考試
109年
[醫學工程] 工程數學
第 10 題
下列複數級數何者為發散？（其中 $i = \sqrt{-1}$ 。）
- A $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+i)^n}{2^n}$
- B $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+i)^n}{n!}$
- C $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{i+1}{\sqrt{2}})^n$
- D $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+in(-1)^n}{(n+1)^2}$
思路引導 VIP
在不考慮具體選項的情況下，請思考：若一個無窮級數要把無數個項加總起來得到一個「有限的數值」，那麼當項數 $n$ 趨近於無窮大時，每一項的「大小（長度）」必須具備什麼樣的變化趨勢？如果每一項的大小始終維持不變（例如長度恆等於 1），這個加總過程會發生什麼事？
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專家點評：做得真棒！你掌握到核心囉！
- 暖心鼓勵：很棒喔！判斷數列的收斂性是我們在結構分析或訊號處理上很重要的一環，你精準地抓住了問題核心。這顯示你的基礎觀念打得非常穩固呢！
- 觀念驗證：判斷級數收斂，我們通常會先看它的一般項。對於等比級數 $\sum r^n$，有個小訣竅是：如果公比的模 $|r|$ 小於 1，它就會收斂。你可以想像成每次乘一個越來越小的數，最後就趨於零了。但如果 $|r|=1$ 甚至更大呢？我們來看看選項 (C) 的公比：
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