地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 4 題
令收斂區間為 $0 < |z| < 1$，試求複變數函數 $f(z) = \frac{e^z}{z(z^2+1)}$ 以勞倫茲級數（Laurent series）表示時，其留數（residue）應為下列何值？
- A 0
- B $1/2$
- C 1
- D $1/6$
思路引導 VIP
既然題目指定收斂區間為 $0 < |z| < 1$，這暗示了我們必須關注哪一個位於原點附近的奇異點 (Singularity)？在該區域展開的勞倫茲級數中，留數 (Residue) 的定義與哪一個冪次的係數 $a_{-1}$ 相關？請觀察函數 $f(z) = \frac{e^z}{z(z^2+1)}$ 的分母構造，判斷在該展開中心點的極點階數 (Order of pole) 為何；若為一階極點，你是否能運用極限公式 $\lim_{z \to z_0} (z - z_0)f(z)$ 快速計算出結果？
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1. 唔... 還行吧
啊？ 什麼啊，原來正確答案在這裡嗎？（打哈欠）看來你還知道怎麼找到 $0 < |z| < 1$ 裡面那顆奇點，算對留數了。嗯，工程數學的複變分析... 基礎是基礎，至少沒迷路走到別的地方去。這點能耐，以後要斬斷高等振動學或控制理論那些麻煩的時候，應該還能用上。
2. 管他三七二十一，就專心找這個
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