高等考試
109年
[醫學工程] 工程數學
第 15 題
利用拉氏轉換求 $\int_0^{\infty} t \cos(t) e^{-2t} dt = ?$
- A 4/25
- B 3/25
- C 3/23
- D 2/25
思路引導 VIP
請觀察這個積分式的結構，它是否與拉氏轉換的定義式 $\int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt$ 極其相似？若我們將其中的常數視為參數 $s$，那麼被積函數中的 $t$ 項，在轉換性質中通常對應到頻域空間的什麼運算？嘗試先找出基本函數的轉換式，再套用該運算規則，最後代入特定的 $s$ 值，你覺得該如何起手？
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- 觀念驗證：這題的核心在於識別出該積分式即為 拉氏轉換 (Laplace Transform) 的定義：$$\int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt = \mathcal{L}{f(t)}$$ 在此題中，$s=2$ 且 $f(t) = t \cos(t)$。根據「頻域微分性質」，當原函數乘上 $t$ 時，對應到 $s$ 空間就是一次負微分：
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