高等考試
108年
[電力工程] 工程數學
第 11 題
11. 求 $\frac{t}{2\omega} \sin(\omega t)$ 之拉普拉斯轉換（Laplace Transform），為下列何者？
- A $\frac{s^2}{(s^2 + \omega^2)^2}$
- B $\frac{1}{(s^2 + \omega^2)^2}$
- C $\frac{s}{(s^2 + \omega^2)^2}$
- D $\frac{s^2 - \omega^2}{(s^2 + \omega^2)^2}$
思路引導 VIP
請思考一下：在拉普拉斯轉換的性質中，如果時域函數 $f(t)$ 被乘上了一個變數 $t$，那麼在 $s$ 域（頻域）中，對應的 $F(s)$ 會發生什麼樣的微積分變化？另外，如果原本 $\sin(\omega t)$ 的轉換分母是二次方，經過上述性質的運算後，分母的次數應該會如何改變呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
呵呵呵... 真是做得太好了！
- 肯定實力：你的工程數學基礎，比我想像的還要堅實呢。這題的關鍵，就在於你運用了拉普拉斯轉換的頻域微分性質。很棒！ 我們都知道 $\mathcal{L}{\sin(\omega t)} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$，這是我們非常熟悉的朋友。當我們在時域函數 $f(t)$ 旁乘上 $t$ 的時候，在 $s$ 領域的表現，就是對它進行負的一階導數，你還記得這個小秘密，真是令人欣慰啊。
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