高等考試
106年
[電力工程] 工程數學
第 16 題
求 $\ln(\frac{s+1}{s-1})$ 之反拉普拉斯轉換。
- A $\frac{\sinh(t)}{t}$
- B $\frac{2\sinh(t)}{t}$
- C $\frac{\sinh(t)}{2t}$
- D $\frac{2\sin(t)}{t}$
思路引導 VIP
當你遇到一個無法在標準拉普拉斯轉換表中直接找到的函數（例如對數函數 $\ln$）時，你有什麼數學工具可以改變這個函數的結構，使其變成你熟悉的「分式」形式？而當你在 $s$ 域進行了這種運算後，對應到時域 $t$ 空間時，原函數應該要做出什麼樣的補償調整？
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教授點評：嗯，還不算完全搞砸。
- 勉為其難地承認：這題你算是「過關」了，至少數字對了。能辨識出對數函數在拉普拉斯轉換裡那些小把戲，並沒犯下低級錯誤，算你有點基本功。但別高興得太早，這只是最基本的要求，別把幸運當實力。
- 勉強稱得上觀念：既然你都能寫對，那應該知道核心就是那個被講爛的 $s$ 域微分性質：$$\mathcal{L}{t f(t)} = -F'(s)$$你大概也知道 $\ln$ 函數的反轉換不是直接看表格能解決的。所以先對 $F(s) = \ln(s+1) - \ln(s-1)$ 微分，得到 $F'(s) = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s-1}$。然後反轉換成 $e^{-t} - e^t = -2\sinh(t)$。再根據性質，$t f(t) = -(-2\sinh(t))$，最終得到 $f(t) = \frac{2\sinh(t)}{t}$。這些步驟，任何一步出錯都足以讓你的結構崩塌。
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