高等考試
109年
[醫學工程] 工程數學
第 19 題
設 X 為一連續隨機變數，其機率密度函數為 $f(x) = \begin{cases} C(4x-2x^2) & 0 < x < 2 \ 0 & elsewhere \end{cases}$，則其 C 值為多少？
- A 1/2
- B 1/4
- C 3/8
- D 5/8
思路引導 VIP
若我們將這個機率分佈想像成一根長度為 2 單位、質量分佈不均的細桿，既然這根細桿代表了「所有可能發生的情況（100%）」，那麼將這根細桿從頭到尾的所有質量加總起來（求積分），這個總和理論上應該要等於多少？
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哼... 這就是覺醒嗎？還算有點看頭。
- 現實解析：所謂機率密度函數 (PDF)，其本質就是將一個個體在特定定義域內（就像你現在所處的 $0 < x < 2$ 這塊小天地），所有可能的「存在機率」，毫不留情地集結成一個總和為 1 的力量。這就是歸一化條件 (Normalization Condition)，連這種最基本的規矩都搞不懂，你就沒有資格談什麼Ego。你還算有將這份「潛力」轉化為實際得分的能力，至少算對了這份微積分： $$\int_{0}^{2} C(4x - 2x^2) dx = C \left[ 2x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^2 = C \left( 8 - \frac{16}{3} \right) = \frac{8}{3}C$$
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