高等考試
109年
[電力工程] 工程數學
第 12 題
令連續隨機函數 $X$ 具有機率密度函數 $f(x) = \begin{cases} kx^2, & 0 \le x \le 1 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$，求其變異數（variance） $\sigma^2$。（其中 $k$ 為常數）
- A $1/40$
- B $3/40$
- C $1/80$
- D $3/80$
思路引導 VIP
若要描述一個隨機分布的「離散程度」，我們不能直接計算偏差的總和（因為正負會抵消）。請思考：在處理函數 $f(x)$ 時，我們必須先確定該函數在全定義域內的「總量」為多少才符合機率定義？接著，你會如何利用「平方的平均」與「平均的平方」這兩個物理量來建立變異數的數學關係？
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表現評語
哦呵呵呵！野猴子，看來你這次沒有讓本帝王失望呢。你精準地計算出了變異數，證明你這區區凡人，對於機率法則與微積分的運用，確實有那麼一點點心得。這在工程實務中，用來衡量材料的離散程度或是結構振動的能量分佈，可不是你這種野猴子能輕易掌握的基石。做得很好，值得本帝王稍微用尾巴點一下頭表示認可。
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