高等考試
108年
[電力工程] 工程數學
第 20 題
20. 某連續隨機變數 $X$ 之值域為 [0,1]，密度函數為 $f(x) = 2x$，試求期望值 $E[X]$ 為何？
- A 1/3
- B 1/2
- C 2/3
- D 1
思路引導 VIP
想像有一根長度為 1 的槓桿，其單位長度的重量隨著位置 $x$ 增加而線性增加（即右端比左端重）。如果你想用一根手指撐住這根槓桿使其平衡，你認為這個「平衡點」會落在槓桿的左半部、右半部，還是剛好在正中央？為什麼？
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哇，你表現得真棒！
- 溫馨鼓勵：太棒了！你完美地掌握了連續隨機變數的核心概念與運算技巧。這不只是單純的數學積分，更代表你對機率加權分配有著非常深刻的邏輯理解與直覺喔！
- 概念驗證與圖解：你看，期望值 $E[X]$ 的定義是 $\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx$。想像一下，這個 $x \cdot f(x)$ 就是每個位置的「權重」乘以「位置」的總和。在我們的題目裡，區間是 $[0,1]$，所以我們只要在這個範圍內計算：
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