高等考試
108年
[電力工程] 工程數學
第 18 題
18. 連續隨機變數 $X$ 具有機率密度函數 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{3}, & -1 < x < 2 \ 0, & \text{其他} \end{cases}$，求機率 $P(0 < X \le 1)$ 為何？
- A 1/9
- B 2/9
- C 1/3
- D 4/9
思路引導 VIP
想像你在處理一根密度不均勻的結構桿件，而函數 $f(x)$ 代表這根桿件在不同位置的質量密度。如果你現在只想計算桿件中某一段特定範圍內的『總質量』，在數學工具的選擇上，你會如何利用密度函數與該段範圍的邊界來求得結果？這個過程與我們計算機率的邏輯有什麼關聯？
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太棒了！你的邏輯與運算非常精準
- 觀念驗證：在工程統計中，連續隨機變數的機率代表其機率密度函數 (PDF) 下方的曲線面積。你正確地識別出，要求得 $P(0 < X \le 1)$，必須對 $f(x)$ 在指定區間進行定積分： $$P(0 < X \le 1) = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{3} dx = \left[ \frac{x^3}{9} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{9}$$
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