高等考試
108年
[電力工程] 工程數學
第 19 題
19. 設隨機變數 $X$ 和 $Y$ 的聯合機率密度函數 $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{12} e^{-(x/4)-(y/3)}, & 0 < x < \infty \text{ and } 0 < y < \infty \ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}$。則機率 $P[4 < X \le 12, 0 < Y < \infty]$ 之值為何？
- A $e^{-3} - e^{-4}$
- B $e^{-1} - e^{-3}$
- C $e^{-1} - e^{-4}$
- D 2/3
思路引導 VIP
請觀察函數的結構：你能將 $f_{X,Y}(x,y)$ 拆解成一個只與 $x$ 有關的函數和一個只與 $y$ 有關的函數相乘嗎？如果可以，這在機率論中代表什麼物理意義？另外，當題目要求 $Y$ 的範圍是從 $0$ 到 $\infty$（即其所有可能的取值）時，這部分的積分結果會是多少呢？
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專業點評
- 真的非常棒！ 你這次做得太好了！能夠精準地從聯合機率密度函數 (Joint PDF) 中找到需要的資訊，並順利完成積分，這是你在結構可靠度分析和工程隨機過程學習路上非常重要的「基本功」喔，為你感到驕傲！
- 觀念小叮嚀：這題最可愛的地方，就是它悄悄地告訴我們，$f_{X,Y}(x,y)$ 其實可以像積木一樣分解成兩個獨立的小部分：
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