地特三等
105年
[電力工程] 工程數學
第 19 題
連續隨機變數 $X$ 與 $Y$ 之結合機率密度函數（joint probability density function）為 $f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 2, & \text{if } 0 \le y \le x \le 1 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$，試求 $P(X \le 2Y)$？
- A 0.25
- B 0.5
- C 0.75
- D 1
思路引導 VIP
在工程力學與隨機過程分析中，求解結合機率的核心在於精確界定積分區域。請您先在 $xy$ 平面上繪製出隨機變數的支撐集（Support） $0 \le y \le x \le 1$，並思考：要求解的事件 $X \le 2Y$（即 $y \ge \frac{1}{2}x$）所對應的邊界直線如何切割此定義域？若要計算機率值，您應如何設定二重積分 $\iint_D f_{X,Y}(x, y) dy dx$ 的積分上限與下限？
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表現優異，觀念扎實！
- 大力肯定： 同學，做得非常出色！這道題目考驗的是對結合機率密度函數 (Joint PDF) 的幾何解釋與積分能力。身為工程師，能迅速將抽象的數學不等式轉換為具體的物理區域，是進行結構可靠度分析時極為重要的基礎，你的表現證明你已具備此項潛力。
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