調查局三等申論題
113年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
設隨機變數 X 與 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function） f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} be^{-(x+y)}, & 0 < x < 10 \text{ 且 } 0 < y < \infty \\ 0, & \text{其他} \end{cases}。
設隨機變數 X 與 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function） f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} be^{-(x+y)}, & 0 < x < 10 \text{ 且 } 0 < y < \infty \\ 0, & \text{其他} \end{cases}。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
求 b 值。（8 分）
思路引導 VIP
看到聯合機率密度函數求未知常數，首要直覺就是利用「總機率為 1」的公理特性。將聯合機率密度函數在給定的有效範圍內作二重積分並令其等於 1，透過指數函數可分離變數的特性分別計算單變數積分，即可嚴謹地解出未知數 b。
小題 (二)
求 X 的邊際機率密度函數（marginal probability density function）：f_X(x)。（6 分）
思路引導 VIP
看到求邊際機率密度函數（Marginal PDF），應立刻想到將聯合機率密度函數對另一個變數（y）進行全範圍的積分。同時要注意，題目中含有未知常數 b，必須利用機率密度函數在全空間雙重積分等於 1 的性質先求出 b 的值，才能得到完整的解答。
小題 (三)
求 Y 的邊際機率密度函數（marginal probability density function）：f_Y(y)。（6 分）
思路引導 VIP
看到聯合機率密度函數求邊際機率密度函數，直覺應想到對另一變數（此題為 x）在定義域內進行積分。另外，由於題目給定的函數中包含未知常數 b，必須主動利用『機率密度函數全空間積分等於 1』的歸一化性質來求出 b 或化簡結果，這是確保解答嚴謹且能拿滿分的關鍵。