調查局三等申論題
109年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
考慮兩個連續隨機變數（continuous random variables）X 與 Y，其合併機率密度函數（joint probability density function）如下所示： f(x,y) = \begin{cases} A \cdot x \cdot (1+y^2), & \text{for } 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} （每小題5分，共20分）
考慮兩個連續隨機變數（continuous random variables）X 與 Y，其合併機率密度函數（joint probability density function）如下所示： f(x,y) = \begin{cases} A \cdot x \cdot (1+y^2), & \text{for } 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} （每小題5分，共20分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
A = ？
思路引導 VIP
看到求聯合機率密度函數中的未知常數，首要想到的性質是「全空間的總機率積分必須等於 1」。將給定函數在其定義域內進行二重積分，利用變數可分離的特性簡化計算，令其結果為 1 即可解出常數 A。
小題 (二)
若以 f_X(x)代表 X 的機率密度函數（probability density function），求出 f_X(x) = ？
思路引導 VIP
看到求邊際機率密度函數（Marginal PDF），首要想到的定義是將合併機率密度函數對另一變數（y）進行全域積分。同時，本題含有未知常數 A，在工程數學與機率論的嚴謹要求下，必須先利用『總機率為 1』的公理求出 A，才能得到完整的函數表示式。
小題 (三)
若以 E(Y)代表 Y 的期望值（expected value），求出 E(Y) = ？
思路引導 VIP
首先利用聯合機率密度函數在全定義域的雙重積分必須等於 1 的『正規化條件』求出未知常數 A。接著，運用隨機變數期望值的定義，透過雙重積分計算 E(Y) = ∬ y·f(x,y) dx dy，利用被積函數可分離變數的特性來簡化微積分運算過程。
小題 (四)
若定義一個新的隨機變數 Z = X∙Y，而且用 E(Z)代表 Z 的期望值（expected value），求出 E(Z) = ？
思路引導 VIP
看到聯合機率密度函數，首要步驟是利用「全空間機率積分為 1」的正規化條件求出未知常數 A。接著，根據二維連續隨機變數期望值定義 E(Z) = E(XY) = \iint xy f(x,y) dxdy 進行雙重積分，過程中可利用積分變數可分離的特性來簡化計算。