調查局三等申論題
111年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
四、有一個連續隨機變數（continuous random variable）X，其機率密度函數（probability density function）如下所示：（每小題 5 分，共 20 分） f_X(x) = C ⋅ e^{-λ|x|}, for -∞ < x < ∞ 其中λ為大於0的給定常數，C則為待定常數。
四、有一個連續隨機變數（continuous random variable）X，其機率密度函數（probability density function）如下所示：（每小題 5 分，共 20 分） f_X(x) = C ⋅ e^{-λ|x|}, for -∞ < x < ∞ 其中λ為大於0的給定常數，C則為待定常數。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
C =？
思路引導 VIP
看到這類機率密度函數（PDF）求待定常數的題型，首要直覺就是利用「總機率等於1」的性質。也就是將函數在整個定義域（本題為 -∞ 到 ∞）取積分並令其為 1，再配合絕對值函數為偶函數的對稱性簡化積分計算，即可求得 C 值。
小題 (二)
請求出X的期望值（expectation）。
思路引導 VIP
看到求期望值的題目，應優先列出連續隨機變數期望值的積分定義式 E[X] = ∫ x f_X(x) dx。接著觀察機率密度函數的對稱性，發現 f_X(x) 為偶函數，故被積函數 x f_X(x) 為奇函數，利用奇函數在對稱區間積分為零的特性，驗證收斂性後即可迅速推導出結果。
小題 (三)
我們以Prob( ⋅ )來代表機率值，那麼Prob(X > X²) =？
思路引導 VIP
遇到這類連續型隨機變數的問題，首先需利用「機率密度函數全區間積分為 1」的性質求出待定常數 C。接著解不等式 X > X² 確定目標事件對應的 x 區間，最後對該區間進行定積分即可順利求得機率。
小題 (四)
我們定義一個隨機變數Y = |X|；請求出Y的機率密度函數。
思路引導 VIP
處理連續隨機變數的函數變換機率密度問題，首選「累積分配函數（CDF）法」。解題核心分為兩步：先建立 Y 的 CDF F_Y(y) = P(Y \le y) 並將其轉換為 X 的機率積分範圍，接著利用微積分基本定理（Leibniz 積分法則）對 y 進行微分，即可嚴謹求得 Y 的 PDF f_Y(y)。