調查局三等申論題
105年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
在某公車站，據車次表顯示公車應在正午時分抵達，然而實際上公車總會遲到 x 分鐘才來，設 X 是一個或然率密度函數，f_X(x) = λ e^{-λ x} 的指數型隨機變數（exponential random variable），今設小明於準正午時抵達這個公車站。
在某公車站，據車次表顯示公車應在正午時分抵達，然而實際上公車總會遲到 x 分鐘才來，設 X 是一個或然率密度函數，f_X(x) = λ e^{-λ x} 的指數型隨機變數（exponential random variable），今設小明於準正午時抵達這個公車站。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
計算小明等候時間會超過 5 分鐘之或然率為何？（10 分）
思路引導 VIP
看到題目給定指數型隨機變數的機率密度函數，應先確立欲求之目標為計算機率值 P(X > 5)。解題關鍵在於利用連續型隨機變數的性質，將機率密度函數 f_X(x) 從 5 到無限大進行瑕積分（improper integral）運算，詳細列出極限與積分步驟，即可求得包含參數 λ 的精確結果。
小題 (二)
設小明已等候 10 分鐘，試計算他需再等 5 分鐘或更久之或然率為何？（10 分）
思路引導 VIP
看到指數分配與「已經等待...還要等待...」的題型，首要聯想到條件機率的定義以及指數分配的「無記憶性（Memoryless Property）」。在國考答題上，不宜直接套用無記憶性結論，應寫出完整的條件機率公式，並透過瑕積分計算證明結果，以符合閱卷標準的嚴謹度。