調查局三等申論題
107年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
五、若在超市結帳櫃台排隊等待時間（分鐘），是一個隨機變數 W，有如下的三角形機率密度函數（probability density function）： f_W(w) = { w-1, 1 < w < 2 ; 3-w, 2 ≤ w < 3 ; 0, otherwise } (一)等待超過兩分鐘的機率。（10 分） (二)算出等待的平均時間，亦即 W 的期望值。（10 分）
五、若在超市結帳櫃台排隊等待時間（分鐘），是一個隨機變數 W，有如下的三角形機率密度函數（probability density function）： f_W(w) = { w-1, 1 < w < 2 ; 3-w, 2 ≤ w < 3 ; 0, otherwise } (一)等待超過兩分鐘的機率。（10 分） (二)算出等待的平均時間，亦即 W 的期望值。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
等待超過兩分鐘的機率。（10 分）
思路引導 VIP
本題為連續型隨機變數的機率計算。看到分段的機率密度函數（PDF）求特定區間機率時，應立即想到利用積分求面積，將函數在所求區間（w > 2）進行定積分即可得解。
小題 (二)
算出等待的平均時間，亦即 W 的期望值。（10 分）
思路引導 VIP
看到求連續隨機變數期望值，應直覺反應出期望值定義公式 E[W] = ∫ w f_W(w) dw。本題機率密度函數為分段函數，需依區間將積分拆解為兩部分分別展開計算，計算完畢亦可利用機率密度圖形（以 w=2 為對稱軸的三角形）的幾何對稱性來快速驗算答案。