調查局三等申論題
110年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
六、設連續隨機變數 X 的機率密度函數（probability density function）為 f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} 若連續隨機變數 Y = (2X+1)^2，求解：
六、設連續隨機變數 X 的機率密度函數（probability density function）為 f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} 若連續隨機變數 Y = (2X+1)^2，求解：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
X 的期望值（expected value）：E[X]。（5 分）
思路引導 VIP
看到求連續隨機變數期望值的題目，應立即回想連續型隨機變數的期望值定義式 E[X] = \int_{-$\infty}^{\infty} x f_X(x) dx$。本題被積函數為多項式乘上指數函數，需利用分部積分法（Integration by Parts）展開計算，並在過程中嚴謹處理瑕積分在無窮大處的極限收斂性質（如利用羅必達法則）。
小題 (二)
X^2 的期望值：E[X^2]。（5 分）
思路引導 VIP
看到連續型隨機變數求期望值，首要反應是依據定義寫出積分式 $E[g(X)] = \int g(x)f_X(x)dx$。本題被積函數為『多項式乘上指數函數』，應運用「分部積分法（Integration by Parts）」連續降階，或代入「Gamma 函數」來計算瑕積分，計算時需特別留意 $x \to \infty$ 時的極限收斂值。
小題 (三)
Y 的機率密度函數：f_Y(y)。（10 分）
思路引導 VIP
處理隨機變數的函數轉換求機率密度函數（PDF）時，應優先考量「變數變換法（Jacobian）」或「累加分配函數法（CDF method）」。首要關鍵是先界定新變數 Y 的有效定義域，接著驗證轉換函數是否具備單調性，最後再進行微積分推導確保過程無誤。