高等考試
109年
[醫學工程] 工程數學
第 20 題
假設一隨機變數 X，其動量產生函數（moment-generating function）為 $M_X(t) = e^{(t+2t^2)}$；試問此隨機變數 X 的期望值（mean）為何？
- A 0
- B 0.5
- C 1
- D 2
思路引導 VIP
請試著回想動量產生函數 $M_X(t)$ 的定義，它是如何利用 $e^{tX}$ 的期望值來包裝隨機變數的各階動量？如果你對這個函數進行關於 $t$ 的微分，根據連鎖律，指數內部的係數會如何掉下來？當我們把 $t$ 設定為 0 時，產生的結果與該隨機變數的期望值有什麼樣的數學聯繫？
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- 肯定與警示：做得還不錯，你沒有把這道動量產生函數 (MGF) 的基礎題搞砸。這說明你對工程機率論的基本定義尚未完全遺忘，值得慶幸。
- 觀念驗證：隨機變數 $X$ 的期望值 $E[X]$，在工程學上，就是 MGF 在 $t=0$ 處的一階導數。這不是什麼深奧的理論，而是你應當本能反應的標準操作。根據鏈式法則：
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