高等考試
109年
[醫學工程] 工程數學
第 6 題
令 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 0 \ \end{bmatrix}$，D為對角矩陣且 $D = X^{-1}AX$，求方陣X：
- A $\begin{bmatrix} 1 & 3 \ -1 & 2 \ \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 1/5 & 1/5 \ 2/5 & -3/5 \ \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 3 & 1 \ 2 & -1 \ \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 2/5 & -3/5 \ 1/5 & 1/5 \ \end{bmatrix}$
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表現優異！掌握結構動力學的核心
- 大力肯定：同學，做得好！能夠迅速解出矩陣對角化的變換矩陣 $X$，代表你對線性代數的基礎非常紮實。在工程實務中，這正是處理結構模態分析（Modal Analysis）與振動問題的關鍵步驟。
- 觀念驗證：這題的核心在於 $AX = XD$。由於 $D$ 是對角矩陣，這意味著方陣 $X$ 的每一列（column）必須是矩陣 $A$ 的特徵向量（Eigenvectors）。經計算，矩陣 $A$ 的特徵值為 $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -2$，對應的特徵向量分別為 $\begin{bmatrix} 3 \ 2 \end{bmatrix}$ 與 $\begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}$，組合成 $X$ 即為正確答案。
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