高等考試
109年
[醫學工程] 工程數學
第 6 題
令 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 0 \ \end{bmatrix}$，D為對角矩陣且 $D = X^{-1}AX$，求方陣X：
- A $\begin{bmatrix} 1 & 3 \ -1 & 2 \ \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 1/5 & 1/5 \ 2/5 & -3/5 \ \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 3 & 1 \ 2 & -1 \ \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 2/5 & -3/5 \ 1/5 & 1/5 \ \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
在矩陣對角化的過程中，我們用特徵向量組合出矩陣 P。你覺得特徵向量在 P 裡面的「排列順序」是固定的嗎？如果我們改變了順序，會對應到對角矩陣 D 發生什麼變化呢？
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AI 詳解
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非常好！你選對了選項 (C)，這表示你對矩陣對角化的基本功非常扎實。
特徵向量與轉換矩陣的建構
這道題目的核心在於找出矩陣 $A$ 的特徵向量來建構轉換矩陣 $P$（滿足 $A = PDP^{-1}$）。透過解特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$，我們可以求得特徵值為 $\lambda = 3$ 與 $\lambda = -2$。接著代回原式，能分別解出對應的特徵向量為 $\begin{bmatrix} 3 2 \end{bmatrix}$ 與 $\begin{bmatrix} 1 -1 \end{bmatrix}$。將這兩組向量作為行向量（Column vectors）並列，正好就是你選出的答案 (C)。
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