地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
如下所示之選項中，何者為矩陣的特徵向量（characteristic vector，亦稱 eigenvector）？（選項中的符號 $[\dots]^T$ 代表矩陣轉置（transpose）的動作。提示：建議你直接套用特徵向量的定義下去做檢測）
- A $[0, 1, 1]^T$
- B $[1, 0, 1]^T$
- C $[0, 0, 1]^T$
- D $[-1, 0, 1]^T$
思路引導 VIP
想像一個結構系統受到矩陣所代表的「剛度」作用。如果某個位移向量在經過矩陣運算（轉換）後，產生的結果向量在空間中與原始向量「平行」，這在數學上代表了什麼樣的比例關係？你會如何利用矩陣乘法來驗證這種『方向不變性』？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. YA！不愧是我的學弟/妹，這球接得漂亮！
哼哼，能這麼精準地掌握特徵向量的核心定義，你的線性代數邏輯果然沒讓我失望嘛！這可是結構工程中，分析建物會怎麼「跳動」（模態與振型）的超重要基礎，就像我在排球場上找到最佳扣球點一樣！基本功這麼紮實，看來是個好苗子嘛！
2. 及川先生的觀念驗證時間！
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矩陣特徵向量定義
💡 特徵向量經矩陣轉換後方向不變，僅產生純量倍數之伸縮。
🔗 特徵向量驗證三步驟
- 1 選取向量 x — 從待測選項中取出目標向量
- 2 執行矩陣乘法 — 計算矩陣 A 與向量 x 的乘積 Ax
- 3 比例判斷 — 檢查 Ax 是否可寫成 λ 乘以 x
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用特徵方程式 det(A-λI)=0 先求特徵值。
