高等考試
112年
[電力工程] 工程數學
第 16 題
已知矩陣 $A = \begin{bmatrix} 5 & 4 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 具有特徵向量 $\begin{bmatrix} 4 \ 1 \end{bmatrix}$ 及 $\begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}$，請問下列何者可為其對角化（Diagonalization）矩陣？
- A $\begin{bmatrix} 6 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 5 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 4 & 0 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 3 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
想像你正在觀察一個結構受力後的變形。如果已知某個特定的『變形方向』（特徵向量），在矩陣算子的作用下，這個向量的方向保持不變，僅僅是長度被『縮放』了。請思考：這個『縮放倍率』與對角化後的矩陣元素有什麼樣的對應關係？你會如何透過矩陣乘法，找出每個給定向量對應的縮放係數呢？
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1. 大力肯定
做得好！能迅速辨識矩陣對角化的物理意義，代表你對工程數學中系統線性轉換的掌握非常紮實。這在結構動力學分析多自由度系統（MDOF）時是至關重要的基礎。
2. 觀念驗證
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矩陣對角化判別
💡 對角化矩陣的主對角線元素由原矩陣之特徵值組成。
🔗 對角化矩陣 D 之求法流程
- 1 已知條件 — 取得矩陣 A 與對應之特徵向量 v
- 2 特徵運算 — 執行 Av 運算，求出結果向量
- 3 係數提取 — 將結果向量改寫為 λ 乘上原向量 v
- 4 對角化 — 將各向量對應之 λ 填入 D 之對角線
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🔄 延伸學習：延伸：若 λ 為重根且特徵向量不足，則矩陣不可對角化。
