高等考試
109年
[醫學工程] 工程數學
第 6 題
令 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 0 \ \end{bmatrix}$，D為對角矩陣且 $D = X^{-1}AX$，求方陣X：
- A $\begin{bmatrix} 1 & 3 \ -1 & 2 \ \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 1/5 & 1/5 \ 2/5 & -3/5 \ \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 3 & 1 \ 2 & -1 \ \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 2/5 & -3/5 \ 1/5 & 1/5 \ \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
若我們將方程式 $D = X^{-1}AX$ 同左乘上 $X$，整理成 $AX = XD$ 的形式。請觀察：如果我們把 $X$ 看作是由兩個行向量 $[v_1, v_2]$ 組成，且 $D$ 是對角矩陣，那麼這個等式對於 $A$ 與每一個 $v_i$ 之間的線性映射關係揭露了什麼物理意義？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
哇！你做得太棒了！能夠正確地解決矩陣對角化（Diagonalization）問題，這代表你對線性代數和系統動態分析的基礎概念掌握得非常穩固，就像蓋房子打好地基一樣！這在分析結構如何振動，或是材料承受多大應力時，都是非常重要且不可或缺的超能力喔！
2. 觀念驗證
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