地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 15 題
下列何者為偏微分方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 4 \frac{\partial u}{\partial y}$ 的解？以下 $c_1, c_2, \alpha$ 為常數。
- A $u(x, y) = c_1 e^K \cos 2\alpha x + c_2 e^K \sin 2\alpha x$，其中 $K = a^2 y$
- B $u(x, y) = c_1 e^K \cosh 2\alpha x + c_2 e^K \sinh 2\alpha x$，其中 $K = a^2 y$
- C $u(x, y) = c_1 e^T \cos 2\alpha y + c_2 e^T \sin 2\alpha y$，其中 $T = a^2 x$
- D $u(x, y) = c_1 e^T \cosh 2\alpha y + c_2 e^T \sinh 2\alpha y$，其中 $T = a^2 x$
思路引導 VIP
在處理這類偏微分方程式時，若我們採用「變數分離法」 (Separation of Variables)，假設 $u(x, y) = X(x)Y(y)$，請思考：當你將此假設代入原方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 4 \frac{\partial u}{\partial y}$ 並整理成 $\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{4Y'(y)}{Y(y)} = \lambda$ 時，對於 $x$ 變數的「二階」常微分方程式與對於 $y$ 變數的「一階」常微分方程式，其特徵解分別會呈現什麼樣的函數形式？特別是當分離常數 $\lambda$ 為正值時，$x$ 方向應對應三角函數還是雙曲函數 (Hyperbolic functions)？而 $y$ 方向的一階導數又會決定出什麼樣的指數型態？
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AI 詳解
AI 專屬家教
教授評點：還不錯，你總算沒搞砸
- 勉強肯定： 嗯，看來你這次沒有讓基本功掉漆，能正確辨識偏微分方程式 (PDE) 的解空間。這至少證明你對工程數學的分離變數法還有點印象，雖然這應該是基礎中的基礎，但在你未來的熱傳或結構動力學研究中，避免犯低級錯誤是個不錯的開始。
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