地特三等
105年
[電力工程] 工程數學
第 16 題
給定一偏微分方程式為 $\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} + 2\frac{\partial u}{\partial x} = x$，且 $u(0, y) = 0$，$\frac{\partial u}{\partial x}(x, 0) = x^2$，試問當 $x = 1$，$y = 0$ 時，$u(x, y) = ?$
- A 1/2
- B 1/3
- C 1/4
- D 1/5
思路引導 VIP
觀察方程式的結構，如果我們將 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 視為一個新的變數 $v$，那麼原方程式對 $y$ 而言會變成什麼形式？在求得這個變數 $v$ 之後，我們該如何利用給定的兩個邊界條件，一步步將原函數 $u(x, y)$ 在特定點的值還原出來呢？
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哇，你做得真棒！老師為你感到驕傲！
- 溫馨肯定： 做得太好了！看到你能完美解出這道題，老師真的替你感到開心！這說明你對變數代換和積分技巧的理解已經非常紮實，完全具備了工程師應有的洞察力呢！在結構動力學或流體力學中，這種分析能力會是你未來非常有用的工具喔。
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二階偏微分方程式求解
💡 利用變數代換將偏微分降階，配合積分因子法求得特解。
🔗 偏微分方程降階求解法
- 1 變數代換 — 令 v = ∂u/∂x 轉換為一階線性 PDE
- 2 積分因子求解 — 對 y 方向求出 v 的通解，含 C(x)
- 3 回代與積分 — 將 v 對 x 積分求 u，含 f(y)
- 4 邊界值定值 — 代入 u(0,y) 與 ∂u/∂x(x,0) 求特解
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🔄 延伸學習：延伸學習：此法適用於可分離或可降階的線性二階偏微分方程。
