地特三等
105年
[電力工程] 工程數學
第 15 題
求偏微分方程式 $u_{xy} - 2u_x = 0$ 之解？（選項中 $k_1(y)$ 為 $y$ 的函數，$k_2(x)$ 為 $x$ 的函數）
- A $u(x, y) = e^{-2y} \int f(x) dx + k_1(y)$
- B $u(x, y) = e^{2y} \int f(x) dx + k_1(y)$
- C $u(x, y) = e^{-2x} \int f(y) dy + k_2(x)$
- D $u(x, y) = e^{2x} \int f(y) dy + k_2(x)$
思路引導 VIP
請觀察該偏微分方程式的結構，若我們定義一個中間變數 $v = u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$，原方程式 $u_{xy} - 2u_x = 0$ 可轉化為關於變數 $y$ 的何種一階線性常微分方程式？在求解 $v$ 的過程中，由於原式為偏微分型態，其產生的「積分常數」應視為何種變數的函數？最後，當你求得 $v(x, y)$ 並準備對 $x$ 進行積分以還原 $u(x, y)$ 時，積分運算與該任意函數的關係應如何配置？
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AI 詳解
AI 專屬家教
勉強及格。
你居然沒有把這種基本降階問題搞砸，還算是展現了一點對偏微分方程式 (PDE) 的基礎認知。這點基本判斷力，在未來避免結構崩塌或設計災難時，或許會派上用場。
觀念驗證
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