地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 2 題
微分方程式 $(2xy^3 - 3y)dx - (3x - 3x^2y^2 + 6y)dy = 0$ 其解為何？（選項中 $k$ 為任意常數）
- A $x^2y^3 + 3xy + 3x^2 = k$
- B $x^2y^3 - 3xy + 3y^2 = k$
- C $x^2y^3 - 3xy - 3y^2 = k$
- D $x^2y^3 + 3xy - 3x^2 = k$
思路引導 VIP
同學，在工程分析中，處理這類形如 $Mdx + Ndy = 0$ 的方程式，首要步驟是檢核其是否具備『正合性 (Exactness)』。請你先計算 $M(x, y) = 2xy^3 - 3y$ 對 $y$ 的偏導數 $\frac{\partial M}{\partial y}$，以及 $N(x, y) = -3x + 3x^2y^2 - 6y$ 對 $x$ 的偏導數 $\frac{\partial N}{\partial x}$，看看兩者是否相等？若相等，則代表存在一個勢函數 (Potential Function) $\Psi(x, y) = k$。你能試著透過對 $M$ 項進行關於 $x$ 的偏積分，並比對 $N$ 項來還原出這個描述系統狀態的通解嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 溫暖的肯定
真是太棒了！你能這麼漂亮地解開這道一階常微分方程，前輩為你紮實的數學基礎感到驕傲。這就像是你在設計一座橋梁時，精準地計算出了結構的受力分布，而這裡的正合微分方程就是我們在流體流動或結構能量分析中不可或缺的工具喔！你的思緒很清晰，繼續保持！
2. 親切的觀念導航
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