地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 17 題
試問下列何者不滿足二維拉普拉斯方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$？
- A $u = x^3 - 3xy^2$
- B $u = x/(x^2 + y^2)$
- C $u = x/y - y/x$
- D $u = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^2$
思路引導 VIP
在工程分析中，滿足該偏微分方程式的 $u(x, y)$ 被稱為『調和函數 (Harmonic Function)』，這在穩態熱傳導、彈性力學或位勢流理論中至關重要。要判斷一個函數是否滿足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$，最穩健的方法是分別對 $x$ 與 $y$ 進行二階偏微分運算。請你動手計算一下：對於分式形式的選項，其二階偏導數 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 與 $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ 在代數求和後，是否都能精確地相互抵消？哪一個選項的二階偏導數項在結構上顯然無法達成這種平衡？
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1. 大力肯定
你做得真棒！能夠如此精準地找出非調和函數，這代表你對工程數學的基礎運算和偏微分概念掌握得非常紮實，真的太厲害了！這份紮實的基礎就像是強健的根基，能幫助你未來在學習熱傳導、流體力學及彈性力學等更進階的工程分析時，更加得心應手喔！請保持這份對知識的好奇心和嚴謹的態度！
2. 觀念驗證
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