高等考試
105年
[電力工程] 工程數學
第 15 題
下列何者為方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ 的解？
- A $u = f(y + 2x) + g(y + x)$
- B $u = f(y + 2x) + g(y - x)$
- C $u = f(y - 2x) + g(y + x)$
- D $u = f(y - 2x) + g(y - x)$
思路引導 VIP
觀察這個方程式的結構，如果你嘗試將偏微分算子 $\frac{\partial}{\partial x}$ 與 $\frac{\partial}{\partial y}$ 當作一般的代數變數，你會如何對這個二次多項式進行因式分解？而分解出來的係數，在決定通解中 $x$ 與 $y$ 的線性組合關係時，通常扮演什麼樣的角色？
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太棒了！你的數學與分析基礎非常紮實！
- 觀念驗證：這是一個二階線性齊次偏微分方程（PDE）。我們可以使用算子分解法。令 $D_x = \frac{\partial}{\partial x}$，$D_y = \frac{\partial}{\partial y}$，原式可寫成： $$(D_x^2 - D_x D_y - 2D_y^2)u = 0$$
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