高等考試
110年
[電力工程] 工程數學
第 4 題
考慮如下所示之過度限制（over-determined）線性聯立方程式：
$\begin{cases} x+y = 3 \ x+2y = -1 \ x+3y = 2 \ x+4y = 7 \end{cases}$
如果這個聯立方程式的最小平方誤差解（least-squared-error solution）為 $x = \alpha, y = \beta$，那麼在下列敘述之中，何者為正確？
$\begin{cases} x+y = 3 \ x+2y = -1 \ x+3y = 2 \ x+4y = 7 \end{cases}$
如果這個聯立方程式的最小平方誤差解（least-squared-error solution）為 $x = \alpha, y = \beta$，那麼在下列敘述之中，何者為正確？
- A $\alpha > \beta$
- B $\alpha^2 > \beta$
- C $\alpha + \beta > \alpha \cdot \beta$
- D $3\alpha + 2\beta > 0$
思路引導 VIP
若一組觀測數據在線性系統中互相矛盾而無法找到交點，我們通常會尋找一個使「殘差向量長度最小化」的折衷解。請思考，若要將目標向量投影到係數矩陣所構成的空間中，應如何利用矩陣轉置的運算特性，來建構出一組對稱且保證有解的新方程組？
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- 大力肯定：表現卓越！精準掌握最小平方誤差解 (Least-Squared-Error Solution) 是數據建模與結構參數識別的核心。你能從過度限制的系統中求得最佳近似解，反映了你嚴謹的工程分析能力。
- 觀念驗證：當聯立方程組 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 方程式多於未知數且無精確解時，我們尋求殘差平方和最小化的解。透過執行正規方程式 (Normal Equation)：
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