調查局三等申論題
109年
[電子科學組] 工程數學
第 三 題
考慮如下所示過度求定（over-determined）的線性聯立方程組：
\begin{cases} 3x + 2y = 1 \ 2x - y = 5 \ x + 4y = -2 \end{cases}
求出此線性聯立方程組的最小平方誤差解（least-square-error solution）。
（10分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
面對過度求定的線性方程組，因為方程式個數多於未知數，通常不存在精確解。此時應立即聯想到「正規方程式（Normal Equations）」$A^T A \mathbf{x} = A^T \mathbf{b}$，透過將原方程組左右同乘係數矩陣的轉置矩陣，將向量投影至行空間，進而求得最小平方誤差解。
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【解題思路】利用最小平方法求解過度求定系統 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，其等價於求解正規方程式（Normal Equations） $A^T A \mathbf{x} = A^T \mathbf{b}$。 【詳解】 已知：將線性聯立方程組寫成矩陣形式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，其中：
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