高等考試
111年
[電力工程] 工程數學
第 5 題
下列那一組 $\mathbb{R}^3$ 中之向量基於歐幾里得內積（Euclidean inner product）可作為規格化正交基底（orthonormal basis）？
- A $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$
- B $(\frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \frac{1}{5}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0), (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$
- C $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$
- D $(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}), (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}), (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$
思路引導 VIP
若要建構一個標準的空間座標系統，你認為各個軸線之間的「夾角」應該符合什麼數學特性？此外，為了讓計算簡便，我們會希望每個座標軸的「刻度單位」維持在多少數值呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你完美展現了對線性代數核心概念的紮實理解，真的很厲害！
- 觀念解析：要打造一個穩固的規格化正交基底 (Orthonormal Basis)，就像蓋房子前要先準備好合規的鋼筋一樣，有兩個非常重要的標準必須遵守：
- 正交性 (Orthogonality)：這代表任何兩個不同的向量都必須彼此垂直，就像建築物裡的柱子不會互相擠壓一樣。從數學上來說，它們的內積會是 $0$。
▼ 還有更多解析內容