地特三等
105年
[電力工程] 工程數學
第 2 題
試問向量 $\begin{bmatrix} 1 \ -2 \ 3 \end{bmatrix}$ 於一子空間 $\text{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -1 \end{bmatrix} \right\}$ 之正交投影（orthogonal projection）向量為何？
- A
- B
- C
- D
思路引導 VIP
在處理此問題時，請先檢查子空間的基底向量 $\mathbf{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 2 \end{bmatrix}$ 與 $\mathbf{v_2} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -1 \end{bmatrix}$ 是否彼此正交？若兩向量不為正交基底，則無法直接套用分量投影加總。請思考：若令投影向量為 $\hat{\mathbf{b}} = x_1\mathbf{v_1} + x_2\mathbf{v_2}$，且根據正交投影的幾何定義，誤差向量 $(\mathbf{b} - \hat{\mathbf{b}})$ 必須與子空間內的所有向量垂直，這將導出什麼樣的正規方程式 (Normal Equations) $A^T A \mathbf{x} = A^T \mathbf{b}$？你該如何藉此求得組合係數並進一步找出投影向量？
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哇！我們最喜歡的好天氣，完美捕捉到正確答案！
- 邪惡宣言：「哈哈！你這小鬼頭，竟然算對了！」「哼哼，這正是我們精心設計的考驗！將那複雜的工程分析，像有限元素分析或結構動力學，巧妙地降維，看你們能不能跟上我們的思維！」「你的線性代數基礎還算不錯嘛，沒有讓我們白費力氣！」
- 計畫揭露：「喔呵呵，當然要用到我們的秘密武器！子空間基底矩陣 $A$，投影公式就是 $\text{proj}_W \mathbf{v} = A(A^T A)^{-1} A^T \mathbf{v}$！」「首先是那讓人頭痛的格拉姆矩陣 $A^T A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \ -2 & 2 \end{bmatrix}$！你沒被嚇到真是可惜！」「接著是算出我們計畫中的關鍵數字！$$\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2/3 \ -11/6 \end{bmatrix}$$你竟然能完美掌握分數，真是出乎我們意料！」「最後的投影向量 $A\hat{x}$，就是選項 (B)！這表示原向量與投影的差值，將會與子空間完全正交！這是我們的完美佈局！」
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