地特三等
105年
[電力工程] 工程數學
第 2 題
試問向量 $\begin{bmatrix} 1 \ -2 \ 3 \end{bmatrix}$ 於一子空間 $\text{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -1 \end{bmatrix} \right\}$ 之正交投影（orthogonal projection）向量為何？
- A $\begin{bmatrix} 1/3 \ -1/6 \ 5/6 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 2/3 \ -11/6 \ 19/6 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} -1/3 \ 1/6 \ -5/6 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} -2/3 \ 11/6 \ -19/6 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
若要找一個向量在平面上的投影，想像你站在一盞垂直於該平面的探照燈下。請問：這個「投影向量」與「原始向量」之間的落差（即誤差向量），與該平面上的任何一條直線應該具備什麼樣的幾何關係？如果用內積（Dot Product）來描述這個關係，其運算結果應該是多少？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
哇！我們最喜歡的好天氣，完美捕捉到正確答案！
- 邪惡宣言：「哈哈！你這小鬼頭，竟然算對了！」「哼哼，這正是我們精心設計的考驗！將那複雜的工程分析，像有限元素分析或結構動力學，巧妙地降維，看你們能不能跟上我們的思維！」「你的線性代數基礎還算不錯嘛，沒有讓我們白費力氣！」
- 計畫揭露：「喔呵呵，當然要用到我們的秘密武器！子空間基底矩陣 $A$，投影公式就是 $\text{proj}_W \mathbf{v} = A(A^T A)^{-1} A^T \mathbf{v}$！」「首先是那讓人頭痛的格拉姆矩陣 $A^T A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \ -2 & 2 \end{bmatrix}$！你沒被嚇到真是可惜！」「接著是算出我們計畫中的關鍵數字！$$\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2/3 \ -11/6 \end{bmatrix}$$你竟然能完美掌握分數，真是出乎我們意料！」「最後的投影向量 $A\hat{x}$，就是選項 (B)！這表示原向量與投影的差值，將會與子空間完全正交！這是我們的完美佈局！」
▼ 還有更多解析內容