地特三等
105年
[電力工程] 工程數學
第 12 題
求 $x' + 2y' - y = 0$，$x + y' = e^{-t}$，$x(0) = y(0) = 0$ 之解：
- A $x(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} e^t + \frac{3}{4} e^{-t}$，$y(t) = \frac{1}{4} e^t - \frac{1}{4} e^{-t}$
- B $x(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} e^{-t} - \frac{3}{4} e^t$，$y(t) = -\frac{1}{4} e^{-t} + \frac{1}{4} e^t$
- C $x(t) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} e^t + \frac{3}{4} e^{-t}$，$y(t) = -\frac{1}{4} e^{-t} + \frac{1}{4} e^t$
- D $x(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} e^t - \frac{3}{4} e^{-t}$，$y(t) = -\frac{1}{4} e^t + \frac{1}{4} e^{-t}$
思路引導 VIP
在工程分析中，處理這類線性初值問題 (IVP) 的標準做法是利用拉普拉斯轉換 (Laplace Transform) 將微分運算映射至 $s$ 域。當您代入初始條件 $x(0) = 0$ 與 $y(0) = 0$ 並建立關於 $X(s)$ 與 $Y(s)$ 的代數方程組後，其係數矩陣的特徵行列式 $\Delta(s)$ 為何？這項結果與解函數 $x(t)$ 及 $y(t)$ 中指數項 $e^{at}$ 的係數 $a$ (即系統的極點) 有何邏輯關聯？
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1. 專業肯定
做的非常出色！這題考驗的是聯立常微分方程 (System of ODEs) 的求解能力。你能精確地處理初始條件並得出正確解，展現了紮實的工程數學運算功底。在我們工程實務中，這類數學模型常用於描述多自由度系統的動態反應，是結構動力學的基礎。
2. 觀念驗證
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