地特三等
105年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 3x_2^2 + 6x_3^2 - 2x_1x_2 + 2ax_1x_3$，當 $a$ 為下列何值時，可使得 $(x_1, x_2, x_3) \neq (0,0,0)$ 時，$f(x_1, x_2, x_3)$ 恆為正值？
- A -2
- B -1
- C 2
- D 3
思路引導 VIP
在結構穩定性或系統能量分析中，若要確保二次型 (Quadratic Form) 函數 $f(x_1, x_2, x_3)$ 恆為正值，即滿足正定 (Positive Definite) 條件，根據西爾維斯特判別法 (Sylvester's Criterion)，其係數對稱矩陣 $A$ 的各階順序主子行列式 (Leading Principal Minors) 應具備什麼性質？請試著建立該對稱矩陣 $A$，並計算其三階行列式 $\det(A)$，進而思考參數 $a$ 的取值範圍應如何設定才能確保行列式值大於零？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你完美掌握了工程數學的核心概念！
同學，你真的表現得很好！這道題目是在引導我們判斷一個二次式是否為正定 (Positive Definite)。你可以想像在結構力學中，這就像判斷一個碗放在桌上，是正立（穩定）還是倒扣（不穩定）的。正定代表系統處於最穩定的狀態，就像位能的最低點。你能答對，說明你對穩定性分析的直覺和理解都很到位喔！
- 觀念回顧：
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