普考申論題
105年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
設隨機變數 X 的機率分配為 x 0 1 f(x) 0.4 0.6 隨機變數 Y 的機率分配為 y 1 2 3 f(y) 0.25 0.5 0.25 今已知P(X =1|Y =1) = 0.6，P(X = 0 |Y = 2) = 0.4，則：
設隨機變數 X 的機率分配為 x 0 1 f(x) 0.4 0.6 隨機變數 Y 的機率分配為 y 1 2 3 f(y) 0.25 0.5 0.25 今已知P(X =1|Y =1) = 0.6，P(X = 0 |Y = 2) = 0.4，則：
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
試求隨機變數 X 與 Y 之聯合機率分配 fX,Y(x,y) 為何？（6 分）
思路引導 VIP
本題測驗聯合機率、邊際機率與條件機率的關係。解題時應優先利用「聯合機率 = 條件機率 × 邊際機率」求出部分聯合機率，接著建立二維交叉表，利用各欄與各列的加總必須等於邊際機率的特性，推導出剩餘未知的聯合機率。
小題 (二)
試求P(X + Y ≤ 2) =？（6 分）
思路引導 VIP
處理這類題型，首要目標是「建構完整的聯合機率分配表」。先釐清符合 X+Y ≤ 2 的所有事件組合，接著利用條件機率乘法定理 P(X∩Y) = P(X|Y) × P(Y) 求出部分聯合機率，再配合邊際機率的加總性質填滿表格並加總目標機率。
小題 (三)
試求隨機變數 X 與 Y 的相關係數ρ X ,Y =？（6 分）
思路引導 VIP
本題重點在於「從條件機率推導出完整的聯合機率分配表」。有了聯合機率表後，可透過計算期望值與共變異數來求解相關係數，或者直接觀察其是否滿足獨立變數的條件 $P(x,y) = P(x)P(y)$，若兩變數獨立則相關係數必為 0。
小題 (四)
隨機變數 X 與 Y 是否獨立？請說明之。（6 分）
思路引導 VIP
判斷兩個隨機變數是否獨立，最穩妥的做法是利用條件機率求出所有的『聯合機率』。若對於所有的 (x, y) 組合，皆滿足 P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y) 或條件機率等於邊際機率，即可證明兩者獨立。