高考申論題
105年
[交通行政] 運輸經濟學
第 三 題
📖 題組：
假設某捷運系統的長期總成本函數為：$LTC = w^{0.6} e^{0.3} r^{0.1} Q^{0.5}$，其中 $w$ 為工資價格，$e$ 為燃油價格，$r$ 為資本價格，$Q$ 為產量。
假設某捷運系統的長期總成本函數為：$LTC = w^{0.6} e^{0.3} r^{0.1} Q^{0.5}$，其中 $w$ 為工資價格，$e$ 為燃油價格，$r$ 為資本價格，$Q$ 為產量。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
當油價增加 10%，此捷運系統的長期總成本增減多少？（5 分）
思路引導 VIP
看到 Cobb-Douglas 形式的成本函數，第一時間應想到利用「對數微分」求出要素價格的「成本彈性」。觀察燃油價格 e 的次方指數為 0.3，即可迅速判斷油價每變動 1%，總成本會同向變動 0.3%，進而推算出 10% 變動的影響。為求嚴謹，可同時列出彈性近似法與精確計算法。
小題 (一)
推導其生產函數。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗由「長期總成本函數」反推「生產函數」的個體經濟學推導能力。解題核心在於運用「薛佛引理（Shephard's Lemma）」，對成本函數中的各要素價格（工資 w、油價 e、資本 r）求偏微分，得出條件要素需求函數。接著，利用要素支出份額的關係，將要素價格以要素數量替換，最終整理出產量 Q 與要素投入間的柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生產函數形式。
小題 (二)
判斷其規模報酬的情形。（10 分）
思路引導 VIP
看到成本函數求規模報酬，應直覺聯想計算「成本的產出彈性（Cost Elasticity of Output）」，即邊際成本（MC）與平均成本（AC）之比值。觀察產出 Q 的指數為 0.5，即可預判彈性小於 1，代表具備規模經濟（規模報酬遞增）。
成本函數與彈性分析
💡 透過成本函數之指數項快速判定要素價格變動對總成本之影響。
🔗 成本變動影響推導鏈
- 1 函數識別 — 確認為 Cobb-Douglas 乘積型成本函數。
- 2 取對數微分 — 對目標要素價格求偏微分，提取其指數（彈性）。
- 3 變動率計算 — 成本變動率 ≈ 成本彈性 × 要素價格變動率。
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🔄 延伸學習：延伸學習：當所有要素價格同時變動時，總成本變動為各項彈性變動之加權總和。
