第 一 題

【解題關鍵】明確定義指數分配之機率變數與率參數 λ，並利用其存活函數（Survival Function）或累積分配函數（CDF）推導目標機率。 【解答】 Step 1 定義機率變數與參數：

【解題關鍵】先由指數分配求出單次事件機率，再將問題轉化為二項分配，最後利用常態分配搭配連續性修正求出近似機率。 【解答】 Step 1：計算單部汽車服務時間超過 60 分鐘的機率 $p$

應填入：標準化後的樣本平均數（或數學式 $\frac{\bar{X} - \mu_X}{\sigma_X / \sqrt{n}}$）。 依據中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）之嚴格定義：若 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 為一組獨立且同分配（i.i.d.）的隨機變數，其期望值為 $\mu_X$ 且變異數為 $\sigma_X^2 < \infty$。當樣本數 $n \to \infty$ 時，樣本平均數 $\bar{X}$ 會漸近服從常態分配 $N(\mu_X, \sigma_X^2/n)$。為使極限分配為標準常態分配 $N(0, 1)$，必須將 $\bar{X}$ 進行標準化轉換，故正確答案應填入標準化後的隨機變數 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_X}{\sigma_X / \sqrt{n}}$。

【解題思路】計算估計量 σˆ1² 的期望值，若等於 σ²X，則為不偏估計量。 【詳解】 已知：

【解題思路】假設母體為常態分配，利用 $(n-1)S^2/\sigma_X^2 \sim \chi^2_{n-1}$ 之性質，建構一般估計量 $c S^2$ 的均方誤差（MSE）函數並微分求極小值。 【詳解】 已知：

【解題思路】建構常態分配樣本的對數概似函數，並利用微積分求極值的方法推導 $\mu_X$ 與 $\sigma_X^2$ 的最大概似估計量。 【詳解】 已知：