高考申論題
105年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
設 x1, x2, ..., xn 為一組抽自平均數為 μ，標準差為 σ 的常態分配之隨機樣本，又 X̄ = (1/n) Σ Xi 為樣本平均數，令隨機變數 Yi = Xi - X̄, i = 1, 2, ..., n，則：
設 x1, x2, ..., xn 為一組抽自平均數為 μ，標準差為 σ 的常態分配之隨機樣本，又 X̄ = (1/n) Σ Xi 為樣本平均數，令隨機變數 Yi = Xi - X̄, i = 1, 2, ..., n，則：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試求 Yi 的變異數 V(Yi) = ？（8 分）
思路引導 VIP
看到求算 $X_i - \bar{X}$ 的變異數，應優先聯想到變異數與共變異數的線性展開公式 $V(A-B) = V(A) + V(B) - 2Cov(A,B)$。接著利用隨機樣本的「獨立性」來計算 $X_i$ 與 $\bar{X}$ 的共變異數，最後結合母體變異數與樣本平均數變異數即可得出答案。
小題 (二)
試求 Y1, Y2 的共變異數（Covariance）Cov(Y1, Y2) = ？（8 分）
思路引導 VIP
看到求兩線性組合共變異數的題目，首要想到利用共變異數算符的雙線性性質（Bilinear property）將式子展開。接著將問題轉化為已知樣本間的共變異數 Cov(X_i, X_j) 以及單一樣本與平均數的共變異數 Cov(X_i, X̄)，再代入獨立同分配（i.i.d.）樣本的變異數性質即可迎刃而解。
小題 (三)
若使 K · (Y1 + Y2)² 為 σ² 之不偏估計量，則常數 K = ？（8 分）
思路引導 VIP
解決此題的關鍵在於不偏估計量的定義：估計量的期望值必須等於被估計的母體參數。先將 Y1+Y2 展開為樣本 Xi 與樣本平均數 X̄ 的線性組合，確認其期望值為 0 後，利用變異數與共變異數的運算性質求出 E[(Y1+Y2)²]，即可反推常數 K。
📜 參考法條
Z_0.10 = 1.28
Z_0.05 = 1.645
Z_0.025 = 1.96
F_0.05(1,40) = 4.08
F_0.05(4,40) = 2.61
F_0.05(5,40) = 2.45
F_0.05(6,40) = 2.34
F_0.10(1,40) = 2.84
F_0.10(4,40) = 2.09
F_0.10(5,40) = 2.00
F_0.10(6,40) = 1.93