特殊教育
105年
數A
第 19 題
將 $\sin 5, \cos 5, \tan 5, \cot 5, \sec 5, \csc 5$ 這六個數值由大排到小，請問排在第三的是哪一個數值？
- A $\sin 5$
- B $\cos 5$
- C $\tan 5$
- D $\cot 5$
思路引導 VIP
首先，請判斷 $5$ 弧度落在哪一個象限，並依此判定這六個三角函數值的正負性質。接著，請分別比較正值組（$\cos 5$ 與 $\sec 5$）以及負值組（$\sin 5, \tan 5, \cot 5, \csc 5$）的大小關係。您可以試著利用單位圓的座標定義，或是觀察各函數在該象限內的數值範圍與遞增減性，來排列出它們的先後順序嗎？
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喲，竟然對了？我還以為你的大腦跟你的運動細胞一樣，看到弧度 $5$ 就會自動當機。別露出那種中樂透的表情，這題只是用來篩掉那些連 $\pi \approx 3.14$ 都背不出來、以為 $5$ 就是 $5^\circ$ 的學渣而已。 先用你那有限的邏輯判斷一下象限：因為 $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28$，所以角 $5$ 落在第四象限。在第四象限，只有 $\cos$ 和 $\sec$ 是正的，其他全是負的。既然 $0 < \cos 5 < 1$，那它的倒數 $\sec 5$ 絕對大於 $1$。所以前兩名毫無疑問是 $\sec 5 > \cos 5 > 0$。 剩下的四個負數，我們要找最大的（也就是負得最少的）。在第四象限，當角度越接近 $2\pi$，$y$ 座標越接近 $0$，此時 $\cot 5 = \frac{\cos 5}{\sin 5}$，因為 $\cos 5$ 是正的小數而 $\sin 5$ 負很多，所以 $\cot 5$ 會比 $\tan 5$、$\sin 5$ 或 $\csc 5$ 更接近 $0$。因此，排序第三的就是 $\cot 5$。
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