地特三等申論題
105年
[電力工程] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
一、給定三個點的直角座標為 $P_1(1,1,1)$，$P_2(2,3,4)$，$P_3(3,0,-1)$，原點為$O(0,0,0)$。
一、給定三個點的直角座標為 $P_1(1,1,1)$，$P_2(2,3,4)$，$P_3(3,0,-1)$，原點為$O(0,0,0)$。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求三角形 $\Delta P_1P_2P_3$ 之面積？（5 分）
思路引導 VIP
計算三角形面積可利用空間向量的外積。先求出從同一點出發的兩個向量 $\vec{P_1P_2}$ 與 $\vec{P_1P_3}$，這兩個向量外積的長度（絕對值）代表其張開的平行四邊形面積，故其一半即為所求的三角形面積。
小題 (二)
求以三個向量 $\overline{OP_1}$，$\overline{OP_2}$，$\overline{OP_3}$ 為邊所展開的平行六面體之體積？（5 分）
思路引導 VIP
空間中由三個向量所張成的平行六面體體積，等於此三向量的三重純量積，即將這三個向量組成一個 $3 \times 3$ 矩陣，求其行列式值的絕對值即可。
向量外積與面積計算
💡 利用空間中兩相鄰邊向量之外積模長，計算三角形之面積。
🔗 空間三角形面積解題路徑
- 1 向量化 — 將座標點轉為兩鄰邊向量 P1P2 與 P1P3
- 2 外積運算 — 使用行列式展開求出法向量 (x, y, z)
- 3 模長求解 — 計算平方和開根號，求得平行四邊形面積
- 4 減半求積 — 將模長除以 2 得到三角形面積
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🔄 延伸學習：延伸學習：若欲求四面體體積，需再與第三邊向量進行內積並除以 6。
