地特三等申論題
105年
[電力工程] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
三、求 $f(z) = \frac{1}{(z-1)^2(z-3)}$ 在下列不同區間的 Laurent series 展開式：
三、求 $f(z) = \frac{1}{(z-1)^2(z-3)}$ 在下列不同區間的 Laurent series 展開式：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
$0 < |z-1| < 2$。（5 分）
思路引導 VIP
此區間為以 $z=1$ 為中心的圓環域，因此須將函數展開為 $(z-1)$ 的冪級數。函數中已存在 $(z-1)^{-2}$，剩下的部分 $\frac{1}{z-3}$ 可代數重組為與 $(z-1)$ 相關的等比級數形式展開。
小題 (二)
$0 < |z-3| < 2$。（5 分）
思路引導 VIP
此區間為以 $z=3$ 為中心的圓環域。令 $w = z-3$，將函數改寫為 $w$ 的函數。$\frac{1}{w}$ 是現成的，需展開的是 $\frac{1}{(w+2)^2}$。可先將 $\frac{1}{w+2}$ 展開成等比級數，再逐項微分得到平方項的展開式。