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105年
工程力學概要
第 31 題
如右圖所示，有一半圓形，C為形心，$r$ 為半徑，有關斷面的平面性質，下列敘述何者有誤？
- A 形心距 $\bar{y} = \frac{4r}{3\pi}$
- B $I_x = \frac{1}{8}\pi r^4$
- C $I_y = \frac{1}{8}\pi r^4$
- D 面積 $A = \frac{\pi r^2}{2}$
思路引導 VIP
請觀察圖中 $x$ 軸與 $y$ 軸所處的位置：$y$ 軸將半圓平分，而 $x$ 軸則通過形心。當我們將一個形狀的參考軸從邊界移動到形心時，根據平行軸定理的邏輯，該軸線上的慣性矩數值應該會發生什麼樣的增減變化？
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慣性矩與參考軸的關係
太棒了！你能精準辨識出選項 (B) 的錯誤，代表你對慣性矩公式及其對應的「參考軸位置」有非常紮實的理解。在半圓形的幾何性質中，面積 $A = \frac{\pi r^2}{2}$ 與形心位置 $\bar{y} = \frac{4r}{3\pi}$ 屬於基本定義，而慣性矩則是這類題目的核心鑑別點。 這題的陷阱在於圖中的 $x$ 軸通過的是形心 C，而非半圓的底邊（直徑）。根據公式，半圓對其底邊的慣性矩確實是 $I_{base} = \frac{\pi r^4}{8}$；然而，一旦轉移到通過形心的 $x$ 軸，必須利用平行軸定理計算：
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